マクドナルドのクーポン番号のヒント問題を手計算で解いてみた

概要

2020年7月31日に突如公開された以下の問題が興味深かったので解いてみました。

今回はプログラムを作成したりWolfram|Alphaのような高性能な計算機（？）を使わずに挑戦してみました。

使う道具：

方針

  • \pi に床関数、天井関数を施した値を評価する
  • 無限級数の計算を頑張る

\pi に床関数、天井関数を施した値を評価する

まず、問題中の意味深長な床関数、天井関数を評価します。特筆すべきなのは、 \lfloor \sqrt{{\lfloor \pi \rfloor }^{\pi}} \rfloor と \lfloor \sqrt{{\pi}^{\pi}} \rfloor です。

\lfloor \sqrt{{\lfloor \pi \rfloor }^{\pi}} \rfloor の値

\lfloor \pi \rfloor = 3より、 \lfloor \sqrt{3^{\pi}} \rfloor = \lfloor 3^{\frac{\pi}{2}} \rfloor が得られます。 次に、値を見積もるために \log_{10} {3^{\frac{\pi}{2}}} の値を考えます。

\displaystyle{ \log_{10} {3^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{\pi}{2} \log_{10} 3}

\displaystyle{\frac{\pi}{2} \log_{10} 3 \simeq 3.141592 \times 0.4771 \div 2 = 0.7494}

となります。

一方、 \log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 = 0.6990 、 \log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.7781 であることから、
\displaystyle{\log_{10} 5 \lt \frac{\pi}{2} \log_{10} 3 \lt \log_{10} 6} を満たすため、
\displaystyle{ 5 \lt 3^{\frac{\pi}{2}} \lt 6 }、つまり \lfloor \sqrt{3^{\pi}} \rfloor = \lfloor 3^{\frac{\pi}{2}} \rfloor = 5 が得られます。

\lfloor \sqrt{{\pi}^{\pi}} \rfloor の値

前節と同様に、 \lfloor \sqrt{{\pi}^{\pi}} \rfloor の値を見積もるために \log_{10} {\pi^{\frac{\pi}{2}}} の値を考えます。 今、 3.14 \lt \pi \lt 3.15 であることから {3.132}^{\frac{\pi}{2}} \lt {\pi}^{\frac{\pi}{2}} \lt {3.15}^{\frac{\pi}{2}} を満たすため、 \log_{10} {3.14^{\frac{\pi}{2}}} の値と \log_{10} {3.15^{\frac{\pi}{2}}} の値を考え、整数部分の大小を見積もります。

\displaystyle{ \log_{10} {3.14^{\frac{\pi}{2}}}} について

常用対数表によれば、 \log_{10} {{3.14}^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{\pi}{2} \log_{10} {3.14} > \frac{3.141592}{2} \times 0.4969 = 0.7805で、 \log_{10} 6より大きいため、 6 \lt 3.14^{\frac{\pi}{2}}を満たします。

\displaystyle{ \log_{10} {3.15^{\frac{\pi}{2}}}} について

\log_{10} {3.15^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{\pi}{2}\log_{10} 3.15 =\frac{\pi}{2}\log_{10} {\frac{315}{100}} = \frac{\pi}{2} \log_{10} 315 - \pi
\frac{\pi}{2} \log_{10} 315 - \pi = \frac{\pi}{2} \log_{10} \left( 5\times 3^2 \times 7 \right) - \pi = \frac{\pi}{2} \left( \log_{10} 5 + 2 \log_{10} 3 + \log_{10} 7 \right) - \pi

次に、やや大きい値を使って上から抑えます。1
\frac{\pi}{2} \left( \log_{10} 5 + 2 \log_{10} 3 + \log_{10} 7 \right) - \pi \lt \frac{3.1416}{2} \left( 0.6990 + 0.9544 + 0.85 \right) = 0.838

ここで、 \log_{10} 7 = 0.8451 （常用対数表より）であることから、 \log_{10} {3.15^{\frac{\pi}{2}}} \lt \log_{10} 7 を満たすため、 3.15^{\frac{\pi}{2}} \lt 7が言えます。

したがって、
6 \lt {3.14}^{\frac{\pi}{2}} \lt {\pi}^{\frac{\pi}{2}} \lt {3.15}^{\frac{\pi}{2}} \lt 7 より、 6 \lt {\pi}^{\frac{\pi}{2}} \lt 7 、つまり \lfloor \sqrt{{\pi}^{\pi}} \rfloor = 6 となります。

無限級数の計算

前節までの結果を使って問題の式を整理すると、

\displaystyle{ 12 \pi^2 \left( \sum_{\tau = 0}^{\infty}\left( \frac{5}{\left(3\tau + 1 \right)^2} - \frac{4}{\left(6\tau + 1 \right)^2}\right) \right)^{-1}}

となります。 特に無限和の部分に着目すると、

\displaystyle{ \sum_{\tau = 0}^{\infty}\left( \frac{5}{\left(3\tau + 1 \right)^2} - \frac{4}{\left(6\tau + 1 \right)^2}\right) = \sum_{\tau = 0}^{\infty}\left( \frac{1}{\left(3\tau + 1 \right)^2} + 4\left(\frac{1}{\left(3\tau + 1 \right)^2} - \frac{1}{\left(6\tau + 1 \right)^2}\right)\right) }

と変形できます。 ここで、

\displaystyle{ \left(\frac{1}{\left(3\tau + 1 \right)^2} - \frac{1}{\left(6\tau + 1 \right)^2}\right) }

について、

f:id:je6bmq:20200801141349p:plain
tauが偶数の場合に打ち消しあう

\tau = 2k （ k は自然数 ）の場合に \tau = k の項と打ち消しあう項が存在し、残る項の分母が 4^2,10^2,16^2, \ldotsと続くことから、 2

この項は

\displaystyle{ \frac{1}{\left(6\tau + 4 \right)^2} =\frac{1}{4\left(3\tau + 2 \right)^2} }

となります。

したがって、

\displaystyle{ \sum_{\tau = 0}^{\infty}\left( \frac{1}{\left(3\tau + 1 \right)^2} + 4\left(\frac{1}{\left(3\tau + 1 \right)^2} - \frac{1}{\left(6\tau + 1 \right)^2}\right)\right) = \sum_{\tau = 0}^{\infty}\left( \frac{1}{\left(3\tau + 1 \right)^2} + \frac{1}{\left(3\tau + 2 \right)^2}\right) }

が得られます。 これは自然数の逆数の2乗の和（ \zeta \left(2\right) = \frac{\pi^{2}}{6}）と3の倍数の逆数の2乗の和との差なので。。。といったところで作問者の@mathlavaさんから同様の内容の投稿がなされていました。

まとめ

常用対数表とゼータ関数は偉大。

  1. 上から抑えるために \log_{10} 7 \simeq 0.84 \lt 0.85、 \pi \lt 3.1416 を使っています↩

  2. 無限和の順序交換を行っていいことを仮定しています↩